Twierdzenie Riesza-Fischera

Twierdzenie Riesza-Fischera – twierdzenie analizy harmonicznej mówiące, że każdy ciąg liczb zespolonych sumowalny z kwadratem jest ciągiem współczynników Fouriera pewnej funkcji całkowalnej z kwadratem, określonej na przedziale $[-\pi ,\pi ].$ Teoria została dowiedziona niezależnie przez węgierskiego matematyka Frigyesa Riesza w 1907 oraz Ernsta Sigismunda Fischera w 1908.

Teoria Riesza-Fischera początkowo była teorią związaną jedynie z szeregami Fouriera, pokazuje jednak dużą wagę całki Lebesgue’a oraz jednocześnie dała nowy początek analizie funkcjonalnej.

Definicja

Jeżyli mamy ortogonalny oraz normalny system funkcji $\phi _{k}(x),$ które są całkowalne z kwadratem w sensie Lebesgue’a.

To znaczy spełniające warunek:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty .$

Wtedy każdy ciąg liczb rzeczywistych $a_{i}\in \mathbb {R}$ spełniających warunek $\sum a_{i}^{2}<\infty$ implikuje istnienie innej funkcji $f(x),$ która spełnia warunek:

$\int f(x)\phi _{i}(x)=a_{i}$ dla każdego $i.$

Stosując uogólnienie całkowania, można stwierdzić, że dla każdego elementu $l^{2}$ istnieje odpowiednia funkcja, której współczynniki Fouriera są wektorami w $l^{2}$.

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
• Witold Pogorzelski: Równania całkowe i ich zastosowania. Tom 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1953.