Stateczność konstrukcji

Stateczność konstrukcji i jej elementów – taka ich właściwość, która polega na zachowywaniu przez nie trwałej równowagi statycznej pod działaniem obciążenia zewnętrznego. Elementy konstrukcji (pręty, tarcze, powłoki) tracą stateczność wtedy, kiedy ich obciążenia przekroczą tzw. wartości krytyczne. Utrata stateczności elementu konstrukcji jest zazwyczaj równoznaczna z utratą stateczności całej konstrukcji. Zjawiskiem z tej dziedziny badanym najwcześniej przez Leonharda Eulera (jeszcze w wieku XVIII), było tzw. wyboczenie prętów ściskanych w kratownicach statycznie wyznaczalnych, mostów stalowych. Na skutek braku wiedzy z tej dziedziny, wystąpiło wiele katastrof mostów stalowych.

Konstrukcja zachowująca stateczność pod działaniem obciążenia zewnętrznego ma tę istotną właściwość, że wychylona z położenia trwałej równowagi statycznej wraca samorzutnie do tego samego położenia. Temu powrotowi zazwyczaj towarzyszą jej swobodne drgania tłumione o podstawowej (najniższej) częstości drgań własnych. Częstość ta maleje wraz ze wzrostem obciążenia i przybiera wartość zerową, gdy to obciążenie osiąga wartość krytyczną. Dotychczasowy, przedkrytyczny stan trwałej równowagi statycznej staje się chwiejny co powoduje, że pojawia się bardzo bliski, sąsiedni, pokrytyczny stan niestatecznej równowagi układu. Ten stan sąsiedni charakteryzuje się tym, że pojawiają się, szybko narastające, dodatkowe przemieszczenia jakościowo różne od dotychczasowych i prowadzące do powstania stref zniszczenia materiału konstrukcyjnego. Pojawienie się tej jakościowo nowej formy równowagi nazywane jest jej bifurkacją. Istnieją wtedy dwie formy równowagi, przy czym stara, przedkrytyczna, staje się niestateczna.

Analiza stateczności stanu równowagi

Analiza stateczności stanu równowagi układu wymaga badania warunków stacjonarności jego energii potencjalnej $U.$ W analizie tej korzysta się z zasady minimum energii potencjalnej. Jeżeli stan układu (jego konfiguracja) jest opisany za pomocą skończonej liczby $n$ stopni swobody, to energia układu jest funkcją $n$ zmiennych niezależnych $x_{i},\;i=1,2,\dots ,n$ i warunki konieczne istnienia tego minimum przybierają postać

${\frac {\partial U}{\partial x_{1}}}=0,\quad {\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}=0,\quad \dots \quad {\frac {\partial U}{\partial x_{n}}}=0.$

Jeżeli stan układu opisany jest za pomocą pewnego zbioru funkcji ${\vec {\varphi }}_{i}({\vec {x}})\in R,$ to badanie jego stateczności wymaga analizy stacjonarności odpowiedniego funkcjonału.

Proste przykłady bifurkacji

Uproszczone modele pręta ściskanego

Przykład 1

W celu zilustrowania zjawiska bifurkacji rozważymy układ mechaniczny (rys. 1a) składający się z pionowego, nieskończenie sztywnego i idealnie prostego pręta AB $(EI=\infty ,EA=\infty )$ o długości $L\;\mathrm {[m]} .$ Pręt na dolnym końcu podparty jest przegubowo nieprzesuwnie i zamocowany sprężyście za pomocą sprężyny o sztywności $k\;\mathrm {[kNm/rad]} .$ Górny koniec pręta obciąża siła $P\;\mathrm {[kN]}$ skierowana pionowo w dół i działająca idealnie wzdłuż osi pręta.

Energia potencjalna układu, wychylonego o kąt $\alpha \;\mathrm {[rad]}$ od pionu (rys. 1b), wyraża się wzorem

$U(\alpha )={\frac {1}{2}}k\alpha ^{2}-P\Delta ={\frac {1}{2}}k\alpha ^{2}-PL[1-\cos(\alpha )],$

a warunek jej stacjonarności przybiera postać

(a1)${}\quad {\frac {dU}{d\alpha }}=k\alpha -\sin(\alpha )=0$

albo

(a2)${}\quad \alpha \left(\lambda -{\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}\right)=0,\quad \lambda ={\frac {k}{PL}}.$

Rys. 1. Rozdwojenie (bifurkacja) stanów równowagi: $\circ$ – stany równowagi chwiejnej; $\bullet$ – stany równowagi trwałej

Układ znajduje się w stanie równowagi (trwałej albo chwiejnej) tylko wtedy, gdy $\alpha$ jest pierwiastkiem $\alpha _{\star }$ równania (a2). Równanie to może mieć dwa pierwiastki:

1)${}\quad \alpha _{\star }=0$ – określa taki stan równowagi, kiedy pręt znajduje się w pozycji pionowej, niezależnie od wartości działającej siły $P,$

2)${}\quad {}$ drugi pierwiastek $\alpha _{\star }$ istnieje tylko wtedy, gdy

${}\quad {\frac {\sin(\alpha _{\star })}{\alpha _{\star }}}=\lambda ,$

to zaś jest możliwe, gdy $\lambda \in [0,1]$ (rys. 2d).

Ze wzoru (a2) wynika, że ten drugi pierwiastek istnieje tylko wtedy, gdy $P\in [P_{kr},\infty ],$ gdzie $P_{kr}=k/L$ jest krytyczną wartością obciążenia $P.$ Przy takim obciążeniu pojawia się rozdwojenie (bifurkacja) stanów równowagi. Ze wzrostem obciążenia te dwa stany oddalają się od siebie (rys. 1c).

Rys. 2. Rozwiązanie nietrywialne $\alpha _{\star }$

Z pełniejszej analizy wynika, że stan określony przez $\alpha _{\star }=0$ jest stanem równowagi chwiejnej, zaś stan $\alpha =\alpha _{\star }>0$ – stanem równowagi trwałej. Na rys. 2e pokazano zależność energii potencjalnej $U$ układu od kąta wychylenia $\alpha .$ Stanowi równowagi trwałej odpowiada minimum tej energii.

Przykład 2

Rys. 3. Dwuczłonowy model pręta ściskanego

Zjawisko utraty stateczności pręta ściskanego przeanalizujemy teraz na modelu składającym się z dwóch pionowych członów o jednakowej długości $L$ (rys. 3a). Układ w stanie równowagi utrzymują dwie sprężyny o jednakowej sztywności $k.$ Do opisu jego konfiguracji wprowadzimy dwa kąty $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ (rys. 3b).

Ograniczając rozważania tylko do małych kątów, pionowe przemieszczenie $\Delta$ punktu przyłożenia siły $P$ (rys. 3b) zapiszemy wzorem $\Delta =L\left(1-\cos(\alpha _{1})\right)+L\left(1-\cos(\alpha _{2})\right)={\frac {1}{2}}(\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}).$

Energia potencjalna układu wychylonego od pionu (rys. 3b) wynosi

$U={\frac {1}{2}}k\alpha _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}k(\alpha _{2}-\alpha _{1})^{2}-P\Delta ,$

a warunki konieczne istnienia jej minimum przybierają postać

${\frac {\partial U}{\partial \alpha _{1}}}=(2k-PL)\alpha _{1}-k\alpha _{2}=0,$

${\frac {\partial U}{\partial \alpha _{2}}}=-k\alpha _{1}+(k-PL)\alpha _{2}=0$

albo

(b1)${}\quad (2\lambda -1)\alpha _{1}-\lambda \alpha _{2}=0,$

(b2)${}\quad -\lambda \alpha _{1}+(\lambda -1)\alpha _{2}=0,\quad \lambda ={\frac {k}{PL}}.$

Ten układ równań ma rozwiązania nietrywialne tylko wtedy, gdy

$\operatorname {Det} {\begin{pmatrix}2\lambda -1&-\lambda \\-\lambda &\lambda -1\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}2\lambda -1&-\lambda \\-\lambda &\lambda -1\end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-3\lambda +1=0.$

Wyznacznik ma wartość zerową, gdy $\lambda$ przybiera wartości

$\lambda _{1}^{\star }=1{,}5-0{,}5{\sqrt {5}}=0{,}382$

lub

$\lambda _{2}^{\star }=1{,}5+0{,}5{\sqrt {5}}=2{,}618.$

Z punktu widzenia stateczności modelu interesująca jest tylko większa wartość $\lambda _{2}^{\star },$ gdyż odpowiada ona mniejszej wartości krytycznej działającego obciążenia $P_{kr}.$ Wartość ta wynosi

$P_{kr}={\frac {1}{\lambda _{2}^{\star }}}{\frac {k}{L}}={\frac {1}{2{,}618}}{\frac {k}{L}}=0{,}382{\frac {k}{L}}.$

Rzeczą interesującą jest porównanie obliczonej wartości $P_{kr}$ z wynikiem otrzymanym w przykładzie 1. Porównanie to wymaga jednak przyjęcia, że oba modele mają tę samą długość całkowitą $L.$ Jeżeli w tym celu w powyższym wzorze podstawimy $L/2$ zamiast $L,$ to otrzymamy

$P_{kr}^{Przyklad\ 2}=0{,}764{\frac {k}{L}}<P_{kr}^{Przyklad\ 1}=1{,}000{\frac {k}{L}}.$

Mniejsza wartość obciążenia krytycznego dla modelu dwuczłonowego wynika stąd, że model ten jest mniej sztywny od jednoczłonowego.

W przypadku, gdy obciążenie $P$ modelu osiągnie wartość krytyczną $P_{kr}$ przedkrytyczny stan (forma) równowagi, określony przez kąty $\alpha _{1}^{\star }=\alpha _{2}^{\star }=0,$ przestaje być stateczny i pojawia się, nieskończenie bliski, sąsiedni stan równowagi trwałej. Stan ten nazywany jest formą utraty stateczności i może być określony na podstawie równań (b1,b2) po podstawieniu w nich $\lambda =\lambda _{2}^{\star }=2{,}618.$ Z drugiego równania otrzymujemy

${\frac {\alpha _{1}^{\star }}{\alpha _{2}^{\star }}}={\frac {\lambda _{2}^{\star }-1}{\lambda _{2}^{\star }}}={\frac {1{,}618}{2{,}618}}={\frac {1{,}000}{1{,}618}}$

i na tej podstawie możemy narysować formę utraty stateczności (rys. 3c).

Uproszczony model pręta zginanego

Przykład 3

Rozważymy uproszczony model belki wspornikowej płasko zginanej względem osi pionowej $Oz$ (rys. 4a). Belka ma postać nieskończenie sztywnej $(EJ_{y}=\infty ,\;EJ_{z}=\infty ,\;GJ_{o}=\infty ),$ cienkiej „płytki” o kształcie prostokąta wydłużonego w kierunku osi $Ox.$ Płytka ta jest zamocowana sprężyście na końcu A za pomocą dwu sprężyn o sztywnościach $k_{\alpha }$ i $k_{\beta }.$ Sprężyna o sztywności $k_{\alpha }$ modeluje sztywność skręcania belki wokół osi $Ox,$ zaś sprężyna o sztywności $k_{\beta }$ – sztywność zginania względem osi $Oz.$ Zamocowanie na końcu A przyjmiemy jako nieskończenie sztywne względem osi $Oy.$ Model jest obciążony pionową siłą $P,$ działającą na końcu swobodnym w punkcie B położonym na osi $Ox.$

Rys. 4. Uproszczony model zwichrzenia belki wspornikowej

Konfigurację (stan) układu, w małym otoczeniu punktu $(0,0),$ opiszemy jednoznacznie za pomocą dwu kątów $\alpha$ i $\beta$ (rys. 4b). Pierwszy z nich określa obrót modelu wokoło osi $Ox$ (rys. 4d), drugi zaś – wokoło osi $Oz$ (rys. 4c). Punkt B przyłożenia siły $P$ doznaje przemieszczenia o poziomej składowej $\beta L$ (rys. 4c) i pionowej $\Delta =\alpha \beta L$ (rys. 4d).

Energia potencjalna układu wyraża się wzorem

$U={\frac {1}{2}}k_{\alpha }\alpha ^{2}+{\frac {1}{2}}k_{\beta }\beta ^{2}-PL\alpha \beta .$

Warunki konieczne stacjonarności energii $U$ mają postać układu równań

${\frac {\partial U}{\partial \alpha }}=k_{\alpha }\alpha -PL\beta =0\quad {}$ albo $\lambda _{\alpha }\alpha -\beta =0,\qquad \lambda _{\alpha }={\frac {k_{\alpha }}{PL}},$

${\frac {\partial U}{\partial \beta }}=k_{\beta }\beta -PL\alpha =0\quad {}$ albo $-\;\alpha +\lambda _{\beta }\beta =0,\qquad \lambda _{\beta }={\frac {k_{\beta }}{PL}}.$

Ten układ równań ma dwa rozwiązania:

1) trywialne $\alpha _{\star }=0$ i $\beta _{\star }=0$ niezależnie od wartości działającego obciążenia $P,$

2) nietrywialne, które istnieje tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek

$\operatorname {Det} {\begin{pmatrix}\lambda _{\alpha }&-1\\-1&\lambda _{\beta }\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\lambda _{\alpha }&-1\\-1&\lambda _{\beta }\end{vmatrix}}=\lambda _{\alpha }\lambda _{\beta }-1={\frac {k_{\alpha }}{PL}}{\frac {k_{\beta }}{PL}}-1=0.$

Z warunku tego wynika krytyczna wartość obciążenia

$P_{kr}={\frac {1}{L}}{\sqrt {k_{\alpha }k_{\beta }}}$ oraz rozwiązanie ${\frac {\alpha _{\star }}{\beta _{\star }}}=\lambda _{\beta }={\frac {1}{\lambda _{\alpha }}}.$

Uwagi ogólne

Najprostszym i najczęściej występującym inżynierskim przypadkiem utraty stateczności jest eulerowskie wyboczenie pręta o osi idealnie prostoliniowej, poddanego czystemu ściskaniu osiowemu. Takie ściskanie może być wywołane dwójką sił skupionych, przyłożonych na przeciwległych jego końcach i działających idealnie wzdłuż jego osi. Utrata stateczności polega w tym przypadku na przejściu pręta w jego pokrytyczny stan giętny (zgięciowy) w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi przekroju, względem której jego główny centralny moment bezwładności jest najmniejszy.

Równie często występuje utrata stateczności przez zwichrzenie, podczas zginania w płaszczyźnie pionowej, belek o przekrojach zbliżonych do postaci wąskich pionowych prostokątów. W przedkrytycznym stanie równowagi, pod wpływem działającego obciążenia, oś $Ox$ ugiętej belki leży dokładnie w płaszczyźnie pionowej $Oxz$ i opisana jest równaniem $EJ_{y}w''(x)=-M(x).$ Bifurkacja polega w tym przypadku na pojawieniu się dwu wzajemnie sprzężonych przemieszczeń:

• ugięcia $v(x)$ w płaszczyźnie poziomej $Oxy$ oraz
• kąta $\varphi (x)$ obrotu (zwichrzenia) przekroju względem osi $Oz.$

Belka podlegająca w stanie przedkrytycznym płaskiemu zginaniu względem osi $Oy$ (tzn. w płaszczyźnie $Oxz$) zaczyna w stanie pokrytycznym dodatkowo wyginać się względem osi $Oz$ (tzn. w płaszczyźnie $Oxy$) i zaczyna stawać się wichrowata, czemu towarzyszy obrót jej przekrojów wkoło osi $Ox,$ wywołany skręcaniem belki. Istota tego zwichrowania polega na tym, że płaszczyzna $Oxz$ przekształca się w pewną powierzchnię prostokreślną zawierającą odkształconą oś belki zwichrzonej.

Analiza stateczności polega na poszukiwaniu sąsiedniego stanu równowagi, tego który pojawia się w momencie utraty stateczności. To poszukiwanie sprowadza się do badania niezerowych rozwiązań odpowiednich równań różniczkowych.

Wyboczenie pręta ściskanego osiowo

Skupimy teraz uwagę na idealnym (tzn. pozbawionym wszelkich imperfekcji) modelu pręta ściskanego, pokazanym na rys. 5a. Analizę wyboczenia przeprowadzimy w ramach teorii Eulera, zakładając dodatkowo, że $EA=\infty$. Dzięki temu założeniu wyeliminujemy z rozważań przemieszczenia pierwszego rodzaju występujące w stanie przedkrytycznym (skrócenie pręta), które nie mają żadnego wpływu na obliczenie wartości krytycznej działającego obciążenia.

Rys. 5. Pręt ściskany osiowo

Dzięki założeniu, że $EA=\infty ,$ konfigurację pręta opisywać będzie tylko jedna funkcja $w(x)$ nazywana jego linią ugięcia. Funkcja ta opisuje przemieszczenia drugiego rodzaju (pokrytyczne), które w stanie przedkrytycznym są równe zeru, tzn. $w(x)\equiv 0$ (rys. 5a), a w stanie krytycznym (gdy $P=P_{kr}$) przedstawiają postać utraty stateczności.

Energię układu odkształconego (rys. 5b) można zapisać w postaci funkcjonału

(a)${}\quad U[w]={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}EJ\left[w''(x)\right]^{2}dx-P\Delta ,$

${}\qquad \Delta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[w'(x)\right]^{2}dx.$

Przemieszczenie końca pręta $\Delta$ (rys. b) otrzymujemy przez całkowanie efektów pokazanych na rys. 5c. Efekty te o wielkości

$\Delta (dx)=dx-dx\cdot \cos \left[w'(x)\right]\approx {\frac {1}{2}}\left[w'(x)\right]^{2}dx$

występują w każdym elementarnym odcinku pręta o długości $dx$ i pochodzą od ich obrotów o kąt $\varphi =w'(x)$ związany z uginaniem się jego nieściśliwej osi w płaszczyźnie $Oxw$ (rys. 5b).

Równanie równowagi pręta otrzymamy jako warunek stacjonarności funkcjonału (a) energii potencjalnej $U[w]$ układu. Wariację tego funkcjonału zapiszemy zgodnie z zasadami rachunku wariacyjnego, w postaci $\delta U[w]=\int _{0}^{L}\left[EJw''(x)\delta w''(x)-Pw'(x)\delta w'(x)\right]dx.$

Po scałkowaniu przez części otrzymujemy

$\delta U(w)=\int _{0}^{L}\!\!\left\{\left[\left(EJw''(x)\right)''+Pw''(x)\right]\delta w(x)\right\}dx+$

${}\qquad +\left.\left[-M(x)\delta w'(x)+Q(x)\delta w(x)\right]\right|_{0}^{L},$

gdzie:

$M(x)=-EJw''(x),$

$Q(x)=M'(x)-Pw'(x)=-\left\{\left[EJw''(x)\right]'+Pw'(x)\right\}.$

Funkcjonał $U[w]$ jest stacjonarny, gdy spełnione jest jego równanie Eulera

$\left[EJw''(x)\right]''+Pw''(x)=0$

przy dowolnych warunkach brzegowych.

Przykład 4

Pokrytyczny stan równowagi ściskanego pręta pryzmatycznego $(EJ=\operatorname {const} )$ opisuje równanie

$w''''(x)+\lambda ^{2}w''(x)=0,\quad \lambda ={\frac {\nu }{L}},\quad \nu ^{2}={\frac {PL^{2}}{EJ}},$

gdzie:

$w(x)$ – linia ugięcia pręta wyboczonego (forma utraty stateczności),

$EJ$ – mniejsza ze sztywności przekroju na zginanie,

$L$ – długość pręta,

$P$ – siła ściskająca pręt.

Równanie to ma dwa rozwiązania

$w(x)\equiv 0$ – opisujące prostoliniowy stan przedkrytyczny pręta i

$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+C{\frac {x}{L}}+D,$

opisujące jego nieskończenie bliski stan krytyczny.

Stałe $A,\ B,\ C,\ D$ wyznacza się na podstawie warunków podparcia pręta. I tak na przykład dla pręta podpartego przegubowo na obu końcach $(w(0)=w''(0)=w(L)=w''(0))$ otrzymuje się $B=C=D=0$ oraz

$A\sin(\nu )=0.$

Rozwiązaniem tego równania jest

$\nu ^{*}=n\pi ,\quad n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\dots$

Najniższa, niezerowa wartość obciążenia krytycznego określona jest przez $n=1$ skąd

$\nu _{kr}=L{\sqrt {\frac {P_{kr}}{EJ}}}=\pi ,\quad P_{kr}={\frac {\pi ^{2}EJ}{L^{2}}}.$

Stan krytyczny (formę utraty stateczności) opisuje funkcja

$w(x)=A\sin(\lambda _{kr}x)=A\sin \left({\sqrt {\frac {P_{kr}}{EJ}}}x\right).$

Występująca w powyższych wzorach wielkość $J=J_{min}$ jest mniejszym z dwóch głównych centralnych momentów bezwładności poprzecznego przekroju pręta. Określa ona płaszczyznę, w której następuje wyboczenie (forma utraty stateczności).

Na podkreślenie zasługuje fakt, że w opisanym przypadku bifurkacja stanu równowagi następuje od zerowego stanu przedkrytycznego $w(x)\equiv 0,$ co w istotny sposób upraszcza obliczenia.

Zwichrzenie belki płasko zginanej

Przykład 5

W tym przypadku sytuacja jest trochę bardziej złożona. Celem jej uproszczenia rozważymy tylko przypadek szczególny obciążenia belki pryzmatycznej ($EJ_{y}=\operatorname {const} ,$ $EJ_{z}=\operatorname {const} ,$ $EJ_{y}\gg EJ_{z},$ $GI_{0}=\operatorname {const}$) dwójką momentów $M$ działających na jej końcach, w płaszczyźnie pionowej $Oxz.$ Linia ugięcia stanu przedkrytycznego opisana jest równaniem $EJ_{y}w''(x)=-M.$

Pokrytyczny stan przemieszczenia powstaje w wyniku bifurkacji stanu przedkrytycznego i pojawieniu się dwu nowych przemieszczeń (ugięcia $v(x)$ w płaszczyźnie $Oxy$ i obrotu $\varphi (x)$ względem osi $Ox$) opisanych przez równania

$EJ_{z}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=M\varphi ,\qquad GJ_{0}{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {dv}{dx}}.$

Różniczkując i eliminując $v,$ otrzymuje się równanie dla wyznaczenia kąta $\varphi$ obrotu przekroju

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+k\varphi =0,\qquad k={\sqrt {\frac {M^{2}}{EJ_{z}GJ_{0}}}}.$

Rozwiązanie równania ma postać

$\varphi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).$

Krytyczną wartość obciążenia $M_{kr}$ można obliczyć na podstawie konkretnych warunków podparcia. I tak na przykład dla belki widełkowo podpartej na obu końcach, jest $\varphi (0)=\varphi (L)=0$ skąd wynika warunek dla obciążenia krytycznego

$\sin(kL)=0\;\to \;kL=n\pi ,\quad n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\dots$

Najniższa wartość krytyczna obciążenia wynosi

$M_{kr}={\frac {\pi }{L}}{\sqrt {EJ_{z}GJ_{0}}}.$

Formę utraty stateczności opisują funkcje

$\varphi (x)=A\sin \left({\frac {\pi }{L}}x\right),\qquad v(x)=AGJ_{0}\sin \left({\frac {\pi }{L}}x\right).$