Punkt Nagela

Punkt Nagela $N$ trójkąta $\Delta ABC.$ Na pomarańczowo zaznaczono okręgi dopisane do trójkąta $\Delta ABC$

Punkt Nagela – punkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 roku.

Definicja formalna

Niech dany będzie trójkąt $\Delta ABC.$ Oznaczmy poprzez $T_{A},\,T_{B},\,T_{C}$ punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków $T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C$ łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.

Dowód

Ilustracja obrazująca zależność $|AB|+|BT_{A}|=|AC|+|CT_{A}|$ w trójkącie i jego okręgu dopisanym.

Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki $T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C$ przecinają się w jednym punkcie.

Z definicji okrąg $O_{A}$ jest styczny do ramion kąta $\angle BAC.$ Oznaczmy punkty styczności okręgu $O_{A}$ z ramionami poprzez $X$ oraz $Y.$ Oznacza to, że odcinki $AX$ i $AY$ mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki $BX$ i $BT_{A}$ oraz $T_{A}C$ i $CY,$ ponieważ okrąg $O_{A}$ jest również styczny do ramion kątów $\angle XBT_{A}$ oraz $\angle T_{A}CY.$ Wywnioskować możemy z tego, że

$|AB|+|BT_{A}|=|AC|+|CT_{A}|.$

(1a)

Analogicznie wywnioskować możemy, że

$|BC|+|CT_{B}|=|BA|+|AT_{B}|$

(1b)

$|CA|+|AT_{C}|=|CB|+|BT_{C}|.$

(1c)

Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta $\Delta ABC{:}$ ${\frac {AB+BC+CA}{2}}.$ Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaci

$|BT_{A}|=|AT_{B}|={\frac {1}{2}}(AC+CB-BA)$

(2a)

$|AT_{C}|=|CT_{A}|={\frac {1}{2}}(AB+CB-CA)$

(2b)

$|CT_{B}|=|BT_{C}|={\frac {1}{2}}(CA+AB-BC).$

(2c)

Teraz zauważmy, że zachodzi

${\frac {|AT_{B}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|CT_{A}|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|BT_{C}|}{|T_{C}A|}}={\frac {|BT_{A}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|T_{C}A|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|CT_{B}|}{|T_{C}A|}}=1,$

co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki $T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C$ przecinają się więc w jednym punkcie.

Związki z innymi punktami w trójkącie

Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’a.

Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanego są współliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-Eulera.

Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta $\Delta ABC,$ tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta $\Delta ABC.$ Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta $\Delta ABC$ jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta $\Delta ABC,$ tj. trójkąta, dla którego $\Delta ABC$ jest trójkątem dopełniającym  .

Współrzędne trójliniowe

Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela są

$\operatorname {cosec} ^{2}(A/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(B/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(C/2)$

lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,

${\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.$

Bibliografia

• Peter Baptist. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. „Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften”. 71 (2), 1987. brak numeru strony
• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
• William Gallatly: The Modern Geometry of the Triangle. Londyn: Hodgson, 1913.
• Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki. praca zbiorowa pod red. Małgorzaty Mikołajczyk. Warszawa: Ośrodek Rozwoju Edukacji, 2012.
• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
• S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
• Anonim. Geometry: 69-72, Problem 73. „American Mathematical Monthly”. 3 (12), s. 329, 1893. JSTOR: 2970994?. Sprawdź autora:1.

Linki zewnętrzne

• Polymathematics: Why is the Incenter the Nagel Point of the Medial Triangle?. [dostęp 2014-08-18].
• Punkt Nagela ze strony Cut-the-knot