Korelacja cząstkowa

Korelacja cząstkowa zmiennych

Korelacja cząstkowa – miara zależności zmiennych losowych przy usuniętym wpływie innych zmiennych losowych z ustalonego zbioru.

Definicja

Korelacja cząstkowa zmiennych $X$ i $Y$ z wyłączeniem wpływu zmiennych $\mathbf {Z} =(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}),$ zapisywana $\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }$ jest współczynnikiem korelacji Pearsona pomiędzy składnikami resztowymi $R_{X}$ i $R_{Y}$ z modeli regresji liniowej prognozujących odpowiednio $X$ za pomocą $\mathbf {Z}$ oraz $Y$ za pomocą $\mathbf {Z} .$

Wzór rekurencyjny

Korelację cząstkową rzędu $n$ (tzn. taką, dla której $|\mathbf {Z} |=n$) można łatwo wyznaczyć na podstawie trzech korelacji cząstkowych rzędu $n-1$, przy czym za korelację cząstkową rzędu zerowego należy przyjąć zwykły współczynnik korelacji.

Dla dowolnej zmiennej $Z_{0}\in \mathbf {Z} ,$

$\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}.$

Jeżeli $Z$ jest pojedynczą zmienną powyższy wzór sprowadza się do:

$\rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}.$