|
Ten artykuł należy dopracować: |
Dana jest funkcja Jej pierwsza różnica skończona wyraża się wzorem
| | |
|
(1) |
gdzie:
- jest ustalonym krokiem różnicowym.
Różnice skończone wyższych rzędów otrzymuje się według reguły
Tak na przykład
Niech będzie Dla otrzymuje się
Jak widać różnica skończona trzeciego rzędu, wielomianu trzeciego stopnia ma wartość stałą. Można wykazać, że jeżeli
to
- gdy
Symbol można traktować jako pewien operator odwzorowujący funkcję w funkcję Operator ten ma trzy własności
Ze wzoru (1) wynika, że
Traktując operator jako symboliczny mnożnik, możemy napisać
| | |
|
(2) |
| | |
|
(3) |
Wykorzystując wzór dwumienny Newtona, otrzymujemy
| | |
|
(4) |
oraz dzięki temu, że
| | |
|
(5) |
możemy napisać
a wykorzystując (3)
| | |
|
(6) |
W przypadku gdy funkcja ma ciągłą pochodną na odcinku można wykazać[1], że
| | |
|
(7) |
Wynika stąd, że
W zagadnieniach interpolacji funkcji której rzędne są dane dla równoodległych punktów wykorzystuje się różnice skończone
Z drugiej równości otrzymujemy
Dzięki wzorowi dwumiennemu Newtona otrzymujemy
Na przykład
Wzory (8) pozwalają tworzyć tablice różnic skończonych o postaci
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przykładowo dla wielomianu otrzymuje się dla kroku i wartości początkowej
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
3 |
8 |
12
|
1 |
2 |
11 |
20 |
12
|
2 |
13 |
31 |
32 |
12
|
3 |
44 |
63 |
44 |
12
|
4 |
107 |
107 |
56 |
12
|
5 |
214 |
163 |
68 |
12
|
|
|
|
|
|
W zagadnieniach interpolacji wygodnie jest wprowadzić pojęcie uogólnionej potęgi
| | |
|
(9) |
gdzie:
- jest ustalonym krokiem.
Ze wzoru (1) wynika, że
Pierwsza różnica skończona uogólnionej potęgi, po uwzględnieniu (9), wyraża się wzorem
| | |
|
(10) |
Na zasadzie indukcji można dowieść, że
Ponieważ jest wielomianem n-tego stopnia więc oczywiście
Dane są wartości funkcji na zbiorze równoodległych punktów Należy zbudować wielomian interpolacyjny taki, który spełnia warunki
| | |
|
(11) |
Warunki te są równoważne warunkom
Zgodnie z koncepcją Newtona wielomianu będziemy poszukiwać w postaci
lub
| | |
|
(12) |
Korzystając ze wzoru (10), możemy napisać
| | |
|
(13) |
Ze wzoru (13) wynika, że dla
| | |
|
(14) |
Na podstawie (12) i (14) otrzymujemy interpolacyjny wielomian Newtona w postaci
| | |
|
(15) |
gdzie:
Na podstawie wzoru (15) można obliczyć wartości uwzględniając, że
Ostatecznie otrzymujemy
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
wzór (15) przyjmuje postać pierwszej formuły Newtona
| | |
|
(16) |
przy czym
Współczynniki zostały stablicowane[2].
Dla otrzymujemy
- – dla interpolacji liniowej,
- – dla interpolacji kwadratowej,
- – dla interpolacji sześciennej.
Tym razem poszukuje się wielomianu o postaci
gdzie:
Dla obliczenia współczynników wykorzystuje się wzory na kolejne różnice
Z powyższych wzorów wynika, że
i dzięki temu poszukiwany wielomian można zapisać w postaci
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
powstaje druga formuła Newtona
gdzie:
Zarówno pierwsza, jak i druga formuła Newtona umożliwiają nie tylko interpolację w przedziale ale również ekstrapolację na zewnątrz tego przedziału. Tak więc formułę pierwszą stosuje się do interpolacji wprzód i ekstrapolacji wstecz z punktu a formułę drugą do interpolacji wstecz i ekstrapolacji wprzód z punktu Przy czym ekstrapolacja jest mniej dokładna od interpolacji.
Za pomocą obydwu formuł możliwa jest interpolacja tzw. różnicami centralnymi. Należy w tm celu, w przypadku korzystania z formuły pierwszej, zastosować wzory
- itd.
Dane jest równo odległych węzłów interpolacji
gdzie:
Dane są również wartości funkcji interpolowanej
Należy zbudować wielomian taki, że
Z żądania tego wynika, że
| | dla |
|
(a) |
Wielomianu szukamy w postaci
Współczynniki wielomianu oblicza się w ten sam sposób co w formułach Newtona, wykorzystując wzór (a). Otrzymujemy w ten sposób wzory
Wprowadzając nową zmienną
otrzymujemy pierwszą formułę Gaussa w postaci
| | |
|
(b) |
albo krócej
| | |
|
(c) |
gdzie:
Ta formuła zawiera różnice
Druga formuła Gaussa ma postać
| | |
|
(c) |
gdzie:
Ta formuła zawiera różnice
Tę formułę otrzymuje się jako średnią arytmetyczną obydwu formuł Gaussa
gdzie:
Formułę Bessela można wyprowadzić na podstawie drugiej formuły Gaussa zapisanej dla punktu początkowego W tym celu we wzorze (c) należy: 1) powiększyć o 1 wartości indeksów w różnicach skończonych i 2) zmniejszyć o 1 wartości zmiennej W ten sposób otrzymuje się
| |
|
|
(d) |
Średnia arytmetyczna wzorów (c) i (d), po pewnych przekształceniach[1], daje w wyniku formułę Bessela
Wspólną cechą wszystkich metod różnicowych jest założenie, że
W formule Lagrange’a założenie to nie jest spełnione i dlatego nie jest ona zaliczana do formuł różnicowych.
Na odcinku dane są węzły interpolacji i wartości interpolowanej funkcji Poszukiwany jest wielomian stopnia taki, który spełnia warunki
Budujemy wielomian
taki, że
Stąd
| | |
|
(e) |
i formuła Lagrange’a ma postać
Funkcję można zapisać w sposób bardziej zwarty, posługując się wielomianem
i jego pochodną
Stąd na podstawie wzoru (e) dla
| | |
|
(f) |
gdzie:
Wielomian można obliczyć jako iloczyn elementów tworzących wiersz macierzy
- Przykłady
- 1) Interpolacja liniowa:
- 2) Interpolacja kwadratowa:
W przypadku szczególnym, gdy węzły są równoodległe:
można wprowadzić nową zmienną i wtedy
Wielomian można utworzyć jako iloczyn elementów wiersza macierzy
Różnicowe podejście do interpolacji funkcji o wartościach danych na zbiorze węzłów równoodległych
można uogólnić na przypadek węzłów, które nie są równoodległe.
W tym celu wprowadza się pojęcie różnicy uogólnionej (pierwszego rzędu) zdefiniowanej jako
przy czym
Na przykład
Analogicznie określa się różnice uogólnione drugiego rzędu
Na przykład
Ogólnie
Ważną własnością różnic uogólnionych jest ich symetria względem swoich argumentów. Na przykład
lub
Kolejne różnice uogólnione najwygodniej jest obliczać według schematu tablicowego
x |
y |
rząd 1 |
rząd 2 |
rząd 3 |
rząd 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lemat[1]: Jeżeli funkcja jest wielomianem -tego stopnia, to jego różnica uogólniona rzędu jest tożsamościowo równa zeru, tzn.
dla dowolnego zbioru liczb różniących się od siebie.
Wielomian jest wielomianem, który zeruje się w punkcie Ponieważ ten punkt jest pierwiastkiem wielomianu więc zgodnie z twierdzeniem Bezout’a wielomian ten dzieli się bez reszty przez dwumian Możemy więc napisać
przy czym jest wielomianem stopnia
I dalej
- c.n.d.
Z powyższych związków wynika następująca formuła rekurencyjna
dzięki której otrzymujemy uogólnioną formułę Newtona dla węzłów nierówno odległych[1]
gdzie:
Dany jest zbiór wartości rzędnych monotonicznej funkcji określonych na zbiorze węzłów
Interpolacja odwrotna polega na tym[1], aby obliczyć taką wartość argumentu funkcji która odpowiada jej danej wartości Interpolację taką najczęściej stosuje się wtedy, gdy wartości funkcji dane są za pomocą tablicy zawierającej wartości jej rzędnych
W przypadku węzłów równoodległych funkcję można interpolować wielomianem Newtona o postaci
gdzie:
Zadanie interpolacji odwrotnej rozwiązuje się metodą iteracyjną kolejnych przybliżeń, przy czym korzysta się ze wzoru
w którym
Jako pierwsze przybliżenie przyjmuje się wartość
a następne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie według wzoru
aż do osiągnięcia wymaganej dokładności. Poszukiwaną wartość oblicza się według wzoru
W przypadku, gdy węzły nie są równoodległe wartość można obliczyć, stosując formułę Newtona o postaci[1]
Wartość wyznacznika: [edytuj | edytuj kod]
Wyznacznik charakterystyczny (wiekowy) macierzy jest funkcją parametru którą można interpolować na zbiorze węzłów równoodleglych za pomocą formuły Newtona o postaci
gdzie:
- jest różnicą skończoną i-tego rzędu funkcji
Po uwzględnieniu tożsamości[2]
otrzymujemy wzór Markowa[1]
W przypadku, gdy wzór ten przybiera postać
W przypadku, gdy funkcja dwu zmiennych jest określona za pomocą tablicy jej wartości można zdefiniować dwoiste różnice skończone pierwszego rzędu
i wyższych rzędów
przy czym
Na przykład
Dla funkcji dwu zmiennych można zbudować wielomian interpolacyjny Newtona taki, że
Wielomian ten ma następującą postać
Podstawiając otrzymujemy
a na podstawie różnic pierwszego rzędu
po podstawieniu
Stąd otrzymujemy
Ze wzorów na różnice drugiego rzędu
wynika, po podstawieniu że
a stąd
Ostatecznie wielomian interpolacyjny przybiera postać
Dla wygody obliczeń wprowadza się nowe zmienne
i wtedy
- ↑ a b c d e f g B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1965.
- ↑ a b W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.