Diagonalizacja
Ten artykuł od 2021-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej[1], a konkretniej rozkład macierzy na iloczyn macierzy
gdzie jest macierzą diagonalną.
Macierz jest nazywana macierzą przejścia.
Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej są równe kolejnym wartościom własnym macierzy z kolei kolumny macierzy stanowią kolejne wektory własne macierzy
Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.
Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.
Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]
Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:
gdzie:
- gdzie jest macierzą jednostkową stopnia
- są wartościami własnymi macierzy
- jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.
Własności[edytuj | edytuj kod]
Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.
W szczególności:
- jeśli jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny w którym jest pewną macierzą ortogonalną,
- jeśli jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny w którym jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,
Jeśli dla pewnej macierzy mamy rozkład diagonalny
wówczas:
- macierze i są podobne,
- iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy jest równy jej wyznacznikowi,
- jeśli jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.
Diagonalizacja Jacobiego[edytuj | edytuj kod]
Załóżmy, że jest przestrzenią ortogonalną oraz jest bazą taką, że dla każdego zachodzi (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła przestrzeni w której ma macierz:
- gdzie dla
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Diagonalizacja, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22] .